Învață cum se simplifică fracțiile ordinare la cea mai simplă formă echivalentă, ireductibilă, cu cel mai mic numărător și numitor posibil. Factori primi comuni. Cel mai mare divizor comun, CMMDC. Exemple
Simplificarea fracțiilor. Fracții echivalente
Să învățăm printr-un exemplu, să simplificăm fracția: 12/16
- Numărătorul fracției. Numărul care se află deasupra liniei fracției, 12, se numește numărătorul fracției.
- Numitorul fracției. Numărul care se află sub linia fracției, 16, se numește numitorul fracției.
- Valoarea fracției. Fracția 12/16 ne arată în câte părți egale se împarte numărul de deasupra liniei fracției: 12 se împarte în 16 părți egale. Astfel, valoarea fracției se calculează ca:
- 12 : 16 = 0,75
- Observăm că cele două numere, numărătorul și numitorul, se împart fără rest la 2, așa că le împărțim la același număr, 2:
- 12/16 = (12 : 2)/(16 : 2) = 6/8
- Valoarea fracției 6/8 se calculează ca:
- 6 : 8 = 0,75
- Observăm că valoarea fracției 6/8 este egală cu valoarea fracției 12/16, adică 0,75
- Fracție simplificată. Fracție echivalentă. Fracția obținută, 6/8, se numește fracție echivalentă fracției inițiale 12/16, adică reprezintă aceeași valoare, aceeași proporție din întreg, și a fost obținută din fracția inițială prin simplificare: s-au împărțit atât numărătorul cât și numitorul la numărul 2.
- Divizor comun. Numărul 2 la care s-au împărțit cele două numere ce alcătuiesc fracția se numește divizor comun al numărătorului și numitorului.
- Găsește toți divizorii unui număr sau toți factorii comuni a două numere, online.
- Fracția simplificată are acum numărătorul egal cu 6 iar numitorul egal cu 8.
- Observăm mai departe că cele două noi numere, noul numărător și noul numitor, 6 și 8, se împart iarăși fără rest la 2 (au divizor comun pe 2), așa că împărțim din nou numărătorul și numitorul fracției la 2:
- 6/8 = (6 : 2)/(8 : 2) = 3/4
- Valoarea fracției 3/4 se calculează ca:
- 3 : 4 = 0,75
- Noua fracție obținută, 3/4, este așadar o fracție simplificată, echivalentă fracțiilor 12/16 și 6/8
- Fracție ireductibilă. În plus, fracția 3/4 se numește fracție ireductibilă, adică nu mai poate fi simplificată, este la forma sa cea mai simplă, numerele 3 și 4, numărătorul și numitorul fracției, fiind numere coprime (prime între ele), deci nu au divizori comuni în afară de 1.
Cum simplificăm fracția 12/16 la forma sa cea mai simplă, ireductibilă?
- Cel mai mare divizor comun, CMMDC. Pentru a simplifica o fracție la forma sa cea mai simplă, ireductibilă, trebuie să împărțim atât numărătorul cât și numitorul fracției la cel mai mare divizor comun al lor, cmmdc (12; 16).
- Descompunerea în factori primi. O modalitate de a calcula cmmdc este de a descompune cele două numere în factori primi și de a înmulți apoi factorii primi comuni, la puterile cele mai mici, vezi mai jos.
- Numărătorul și numitorul, descompuși în produse de factori primi:
- 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
- 16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 24
- Descompune numere întregi în factori primi, online.
- Cel mai mare divizor comun CMMDC (12; 16) se calculează înmulțind toți factorii primi comuni (care se găsesc atât la numărător cât și la numitor) la puterile cele mai mici, astfel:
- CMMDC (12; 16) = (22 × 3; 24) = 22 = 4
- Calculează cel mai mare divizor comun, CMMDC, online.
- La final, pentru a simplifica fracția la forma sa cea mai simplă, ireductibilă, împarte atât numărătorul cât și numitorul fracției la CMMDC:
- 12/16 = (12 : 4) / (16 : 4) = 3/4
- Fracție ireductibilă. Fracția astfel obținută, 3/4, se numește fracție simplificată ireductibilă (adică nu mai poate fi simplificată mai mult, este la forma sa cea mai simplă, numărătorul și numitorul sunt numere prime între ele, nu au divizori comuni în afară de 1).
- Fracția 3/4 este o fracție echivalentă fracției inițiale 12/16, adică reprezintă aceeași valoare (sau aceeași proporție). Așa cum am văzut mai sus:
- 3/4 = 6/8 = 12/18 - toate acesta sunt fracții echivalente, obținute prin simplificare.
- Se pot obține fracții echivalente nu doar prin simplificare, ci și prin amplificarea unei fracții, adică prin înmulțirea numărătorului și a numitorului cu același număr diferit de zero, adică procesul invers simplificării, dar aceasta este o altă discuție.
De ce se simplifică fracțiile?
- Operațiile cu fracții presupun de multe ori aducerea la același numitor (ex: adunarea și scăderea fracțiilor, compararea fracțiilor) și uneori atât numărătorii cât și numitorii sunt numere mari și asta presupune efectuarea de calcule greoaie, pe măsură.
- Prin simplificarea unei fracții, atât numărătorul cât și numitorul pot fi reduși la numere mai mici, cu care e mai ușor de lucrat, reducând astfel efortul de calcul rezultat.
Mai multe despre fracțiile ordinare / teorie:
(3) Cum se simplifică fracțiile? Cel mai mare divizor comun, CMMDC